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Quantenmechanik I (QM I) Version Dez.23

Mit * gekennzeichnete Themen können optional behandelt werden. Die Reihenfolge der Kapitel kann umgestellt werden.

I) Grundzüge der Quantenmechanik

1. Vorbemerkungen*: Die Rolle der Quantenphysik; Grundbegriffe der klassischen Disziplinen
2. Welle-Teilchen-Dualität am Beispiel des Doppelspalt-Experiments
3. Die Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen
   • Analogien zur Wellengleichung für Photonen, Klein-Gordon-Gleichung*
4. Wellenpakete und Fouriertransformation
   • Wellenpaket zu festem Zeitpunkt; Ausbreitung von Wellenpaketen
5. Erwartungswerte und Varianz bei Messung von Ort und Impuls
   • Veranschaulichung der Unschärferelation (am Einzelspalt*)
6. Einschub: Operatoren, Skalarprodukt, Kommutatoren, Baker-Hausdorff-Identität, Hermitizität
7. Klassisch-quantenmechanische Korrespondenz und Schrödinger-Gleichung
   • Allgemeine Regeln für die Aufstellung der Schrödinger-Gleichung,
   • Postulate der Quantentheorie;
   • Ehrenfest-Theorem
8. Kontinuitätsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte
9. Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
   • stationäre Zustände,
   • Eigenwert-Gleichung

II) Einfache Probleme

1. Potentialstufe
2. Potentialschwelle und Tunneleffekt
   • Beispiele*: alpha-Zerfall, Feldemission, STM
3. (Endlich tiefer) Potentialtopf: gebundene Zustände
   • Anwendungen* und Beispiele*
4. Periodische Potentiale* / Bloch-Theorem*
5. Symmetrieeigenschaften und Parität
6. Harmonischer Oszillator
   • Lösung durch Potenzreihenansatz, Hermite-Polynome
7. Teilchen im Magnetfeld*, Aharonov-Bohm Effekt*

III) Abstrakte Formulierung: Vektoren und Operatoren im Hilbertraum

1. Vektoren im Hilbertraum, Dirac-Notation, Dualer Raum und Skalarprodukt
2. Operatoren im Hilbertraum, adjungierte und hermitesche Operatoren, Darstellung, Basiswechsel und unitäre Operatoren
3. Eigenwertproblem hermitescher Operatoren
4. Harmonischer Oszillator: algebraische Methode
5. Zusammenhang mit Orts- und Impulsdarstellung
6. Messung physikalischer Größen, allgemeine Unschärfe-Relation

IV) Zentralkraftproblem und Drehimpuls

1. Schrödinger-Gleichung für Zentralkräfte
   • Winkelabhängige Differentialgleichung (ohne Herleitung; s. E-Dynamik)
   • Eigenwerte und Eigenfunktionen (Kugelflächenfunktionen)
   • Drehimpuls als Erzeugende von Drehungen*
   • Radialgleichung für das Zentralkraftproblem
2. Wasserstoffatom
3. Dreidimensionaler harmonischer Oszillator*

V) Drehimpuls und Spin

1. Vertauschungsrelationen, Drehimpulsalgebra
2. Spin 1/2; Pauli-Matrizen; Experimenteller Nachweis*
3. Schrödinger-Gleichung für Spin im Magnetfeld; Spinmessungen*
4. Drehimpulsaddition + Clebsch-Gordon-Koeffizienten; Beispiel: l = 1, s = ½
5. Anwendungen* (siehe Vorlesung SdM I): Spin-Bahn-Kopplung; Zeeman-Effekt; Paschen-Back-Effekt

VI) Näherungsmethoden

1. Zeitunabhängige Störungstheorie:
   • Nicht-entartete Störungstheorie; quadratischer Stark-Effekt
   • Störungstheorie für entartete Zustände
   • linearer Stark-Effekt beim H-Atom
2. Grundzüge der zeitabhängigen Quantendynamik
   • Zeitabhängige Störungstheorie
   • Fermis „Goldene Regel“
   • Rabi-Problem
   • Zwei-Niveau-System im Strahlungsfeld* (siehe QM II)
3. 3. Variationsrechnung;
   • Herleitung / Diskussion
   • Bezug zum Variationsprinzip der klassischen Mechanik*;
   • Beispiele*: Grundzustand des He-Atoms*, ...

VII) Die Rolle von Verschränkung in der QM

1. Verschränkung, EPR-Paradoxon, Bell-Ungleichungen, Deutungen der QM
2. Grundideen des quantum computings*, Beispiele*