Mathematische Methoden und Lineare Algebra (MMLA) Version Dez.23

Mit * gekennzeichnete Themen können optional behandelt werden. Die Reihenfolge der Kapitel kann umgestellt werden.

I) Funktionen, Differenzial- und Integral-Rechnung

1. Eigenschaften von Funktionen
2. Einige elementare Funktionen
   • Polynome und rationale Funktionen
   • Exponentialfunktion
   • Logarithmus
   • Trigonometrische Funktionen
   • Hyperbolische trigonometrische Funktionen
3. Differentiation und Integration von Funktionen einer Variablen
   • Grundlegende Techniken der Differentiation
   • Grundlegende Techniken der Integration
   • Integral-Funktionen
4. Diracsche δ-Distribution: Motivation, Definition, Eingeschaften
5. Taylorentwicklung: Motivation, Herleitung, Beispiele

II) Komplexe Zahlen

1. Komplexe Zahlenebene
2. Exponentialfunktion, Logarithmus, Wurzeln

III) Vektoren

1. Vektoren in der Physik
2. Vektorräume: Definition, Beispiele
3. Vektoralgebra
   • Multiplikation von Vektoren
   • Komponentendarstellung (Kartesische Koordinaten)
   • Einschub: Determinanten
   • Total antisymmetrischer Tensor
   • Mehrfache Produkte von Vektoren

IV) Lineare Algebra

1. Skalarprodukt (inneres Produkt)
2. Lineare Operatoren
   • Definition, Eigenschaften, Beispiele
   • Komponentendarstellung
3. Matrizen
   • Begriff und Darstellung
   • Quadratische Matrizen
   • Addition und Multiplikation
   • Die Transponierte einer Matrix
   • Komplex und hermitesch Konjugierte einer Matrix
   • Die Spur einer Matrix
   • Funktionen von Matrizen
   • Die Determinante einer Martix
   • Die inverse Matrix
   • Der Rang einer Matrix
4. Lineare Gleichungssysteme
   • Problemstellung und Beispiele
   • Allgemeines zur Lösbarkeit und Lösungsmenge
   • N lineare Gleichungen mit N Unbekannten
5. Spezielle quadratische Matrizen
6. Eigenwerte (EW) und Eigenvektoren (EV)
   • Formulierung des Eigenwertproblems
   • Bestimmung von EW und EV
   • EV und EW einer normalen Matrix
   • EV und EW hermitescher und unitärer Matrizen
7. Basistransformation und Ähnlichkeitstransformation
   • Allgemeiner Fall
   • Unitäre Transfomationen
   • Diagonalisierung von Matrizen

V) Funktionsräume, orthogonale Funktionen, Fourier-Reihen/Trafos

1. Funktionsräume
2. Fourier-Reihen für periodische Funktioen
3. Fouriertransformation

VI) Vektoranalysis

1. Differentiation
   • Funktionen mehrerer Variablen
   • Differentiation von Vektorfunktionen
   • Parametrisierung und Charakterisierung von Raumkurven
   • Differentiation von skalaren Feldern: Gradient
   • Differentiation von Vektorfeldern: Divergenz und Rotation
2. 6.2 Krummlinige Koordinaten
   • Vorbemerkungen
   • (Ebene) Polarkoordinaten
   • Zylinderkoordinaten
   • Kugelkoordinaten (sphärische Koordinaten)
   • Allgemeine orthonormale Koordinatensysteme
   • Nabla-Operator in krummlinigen Koordinaten
3. 6.3 Integration
   • Überblick
   • Kurvenintegrale
   • Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen
   • Mehrdimensionale Integrale
   • Variablentransformation in Mehrfachintegralen
   • Allgemeine Oberflächenintegrale
   • Integraldarstellung von Divergenz und Rotation
   • Die Integralsätze von Gauß und Stokes

VII) Differentialgleichungen *

1. Gewöhnliche Differentialgleichungen
   • GDGL 1. Ordnung mit getrennten Variablen: Separation der Variablen
   • DGL y´= f(y/x)
   • DGL y´´ = f(y)
2. Lineare GDGL 1. Ordnung
3. Lineare GDGL mit konstanten Koeffizienten