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\begin{document}
\setcounter{secnumdepth}{-1}

 
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\subsection{Skalarprodukt, Norm, Metrik, Topologie}

\hspace{90mm} \small{\copyright Stefan Rameseder}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

	\subsubsection{Skalarprodukt}
	Man unterscheidet bei einem Skalarprodukt auf einem reellen und auf einem komplexen Vektorraum: \\
	Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum V - $\mathbb{R}$-Vektorraum - ist eine symmetrische positiv definite Bilinearform $<.,.>; V \times V \rightarrow V$ mit $(v,w)\mapsto <v,w>$, s. d. $\forall v,w,x \in V, \lambda \in \mathbb{C} $ gilt: 
	\begin{itemize}
		\item Bilinearit"at (d.h. Linearit"at in beiden Argumenten): \\
		 	$<v +  w,  x>=<v,x>+<w,x> $\\
			$<v,x+w>=<v,x>+<v,w>$\\
			$<\lambda v,w>=\lambda <v,w> = <v,\lambda w>$
		\item Symmetrie:\\
			$<v,w>=<w,v>$
		\item Positive Definitheit:\\
			$<v,v>\ge 0$ und $<v,v>=0 \leftrightarrow v=0$
	\end{itemize}
	
	Ein Skalarprodukt auf einem komplexen Vektorraum V - $\mathbb{C}$-Vektorraum -  ist eine symmetrische positiv definite Sesquilinearform $<.,.>; V \times V \rightarrow V$ mit $(v,w)\mapsto <v,w>$, s. d. $\forall v,w,x \in V, \lambda \in \mathbb{C}$ gilt: 
	\begin{itemize}
		\item Sesquilinearit"at (d.h. Antilinearit"at im 1.Argument und Linearit"at im 2. Argument): \\
		 	$<v +  w,  x>=<v,x>+<w,x> $\\
			$<v,x+w>=<v,x>+<v,w>$\\
			$<\lambda v,w>=\bar{\lambda} <v,w> = <v,\bar{\lambda} w>$
		\item Hermitizit"at:\\
			$<v,w>=\overline{<w,v>}$
		\item Positive Definitheit:\\
			$<v,v>\ge 0$ und $<v,v>=0 \leftrightarrow v=0 $
	\end{itemize}
	
	Bemerkungen: 
	\begin{itemize}
		\item Mit einer Abbildung von Vektorr"aumen, die man Form nennt, meint man eine Abbildung in den zugrundeliegenden K"orper
		\item Ein Vektorraum mit Skalarprodukt nennt man Pr"ahilbertraum, einen vollst"andigen Pr"ahilbertraum nennt man Hilbertraum (ein Banachraum ist dagegen ein vollst"andig normierter Vektorraum)
		\item Skalarprodukte k"onnen nat"urlich auch f"ur Funktionenvektorr"aume definiert werden
	\end{itemize}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

	\subsubsection{Norm}
	
	Sei V ein Vektorraum "uber dem K"orper $\mathbb{K}$ der reellen oder komplexen Zahlen. Eine Funktion $\lVert \cdot \rVert : V \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ in die nichtnegativen reellen Zahlen nennt man Norm auf V, wenn f"ur alle Vektoren $x,y \in V$ und alle Skalare $\alpha \in \mathbb{K}$ die folgenden Bedingungen erf"ullt sind:
	
	\begin{itemize}
		\item Definitheit:\\
			$\lVert x \rVert = 0 \leftrightarrow x=0$ 
		\item Homogenit"at:\\
			$\|\alpha\cdot x\| = |\alpha|\cdot\|x\|$
		\item Dreiecksungleichung:\\
			$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| $
	\end{itemize}
	
	Bemerkungen: 
	\begin{itemize}
		\item Entsprechend nennt man einen Vektorraum mit Norm einen normierten Vektorraum.
		\item Aus der Definitheit folgt schon, dass $\lVert x \rVert \ge 0$
	\end{itemize}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

	\subsubsection{Metrik}

	Sei X eine beliebige Menge. Eine Abbildung $d: X\times X \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ nennt man Metrik auf X, wenn f"ur beliebige Elemente x, y und z von X die folgenden Bedingungen erf"ullt sind:
	
	\begin{itemize}
		\item Definitheit:\\
			$d(x,x) = 0 \leftrightarrow x=0$ 
		\item Symmetrie:\\
			$d(x,y)=d(y,x)$
		\item Dreiecksungleichung:\\
			$d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$
	\end{itemize}
	
	Bemerkungen: 
	\begin{itemize}
		\item Entsprechend nennt man eine Menge zusammen mit einer Metrik d einen metrischen Raum (X,d).
		\item Aus der Definitheit folgt schon, dass $\lVert x \rVert \ge 0$
		\item Vollst"andigkeit h"angt nicht von der Topologie, sondern von der Metrik ab. (d.h. ein Raum kann f"ur eine Metrik vollst"andig sein und f"ur eine andere nicht)
		\item Abbildungen, die die Metrik erhalten, nennt man Isometrie (d.h. f ist eine Isometrie, falls $d(f(x),f(y))=d(x,y)$.\\
		 Sehr bekannt ist die Fouriertransformation, die dank der Plancherelgleichung eine Isometrie zweier R"aume darstellt.
	\end{itemize}
	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

	\subsubsection{Topologie}
	
	Eine Topologie ist ein Mengensystem T bestehend aus Teilmengen (offene Mengen genannt) einer Grundmenge X, f"ur die die folgenden Axiome erf"ullt sind:
	\begin{itemize}
		\item $\emptyset, X$ sind offen
		\item Seien $U_1, ... , U_n$ offene Mengen, dann ist auch $U=\bigcap_{k=1}^n U_k$ offen.\\
			Hier ist die Endlichkeit wichtig.
		\item Sei $\{ U_i\}_{i \in I}$ eine Familie offener Mengen, dann ist auch $U=\bigcup_{i \in I} U_i$ offen.
	\end{itemize}

	Bemerkungen: 
	\begin{itemize}
		\item Entsprechend nennt man eine Menge zusammen mit einer Topologie einen topologischen Raum (X,T).
		\item Es gibt - wie bei Metriken, Normen und Skalarprodukten - verschiedene Topologien (diskrete, euklidische, p-adische,...)
	\end{itemize}
	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

	\subsubsection{Mathematische Hierarchie}
	
	Ein Skalarproduktraum ist ein spezieller normierter Vektorraum, ein normierter Vektorraum ein spezieller metrischer Raum und ein metrischer Raum ein spezieller topologischer Raum. \\
	Man kann insbesondere auch sagen, dass ein Skalarprodukt eine Norm induziert, eine Norm eine Metrik induziert und eine Metrik eine Topologie induziert:
	\begin{itemize}
		\item Ein Skalarprodukt induziert eine Norm:\\
			$\lVert x \rVert := \sqrt{<x,x>}$ 
		\item Eine Norm induziert eine Metrik:\\
			$d(x,y):=\lVert x-y \rVert $
		\item Eine Metrik induziert eine Topologie: \\
			Die offenen Kugeln in einem metrischen Raum erzeugen eine (Basis der) Topologie
	\end{itemize}
		
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}
